altın oran
-
doğa ile bağdaştırılan bir orandır. her türlü şeklin üzerine altın oran spirali koyarak etkileyici bir şey yapmışız gibi davranılabiliniz '*' lakin bu düşündüğünüz kadar etkileyici bir şey değil. etkileyici olacak olan bu oranın doğada olmaması olurdu. bitkilerin düzenli şekillerinden tutun galaksilerin şekillerine kadar her türlü yerde altın oranla karşılaşırız. gene etkileyici değil çünkü sadece altın oranla karşılaşmayız altın oranın kuzenleri gümüş oran, bronz oran ve benzeri birçok oran vardır. mesela bizim galaksimizin şekli gümüş orana daha yakındır.
peki neden altın oran? çünkü (es es es) ne bileyim tanrı evreni yaratırken bu sayıyı makbul görmüş heralde. çok irrasyonel bir sayı onu biliyoruz hatta en irrasyonel sayı bile diyebiliriz. sayıların irrasyonalitesi ölçülebilir bir şey mi? evet ölçülebilir bir şey. tamam artık altın oranın ispatını yapıp kaçayım. Fibonacci dizisindeki ardışık terimlerin oranı git gide altın oran yaklaşır.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34....
1/1=1
2/1=2
3/2=1.5
5/3=1.66..
8/5=1.6
13/8=1.625
.
.
f(n+1)/f(n) = 1,6180339887498...
f(n): fibonacci dizisindeki n. elamanı temsil eder
çaylakolmayan yazmış önceki iki terimin toplamı sonraki terimi verir yani: f(n) + f(n+1) = f(n+2)
o zaman madem oran dedik:
f(n+1) / f(n) = f(n+2) / f(n+1)
f(n+1) / f(n) = [ f(n+1) + f(n) ] / f(n+1)
f(n+1) / f(n) = 1 + f(n) / f(n+1)
f(n+1) / f(n) oranını istediğimize göre" f(n+1) / f(n) = x "diyelim. o zaman "f(n) / f(n+1) = 1/x"olur
x = 1 + 1/x
x - 1/x - 1 = 0 => iki tarafı da x ile çarpalım
x^2 - x - 1 = 0 => bunun köklerini hesaplarsanız sonuç: (1+ √5)/2 ve (1 - √5)/2 çıkar
iki sayı da altın oran ancak bu seri negatife de uzandığı için bir kökü negatif çıkıyor onu dert etmeye gerek yok.