tüm doğal sayıların toplamı
-
1+2+3+4+5+6.....= -1/12
hayır kafayı yemedim ispatını yapacağım.
akılları zora sokan , bir odaya girip neden girdiğini unutturan(kalt), neler oluyor dedirten bir sonuç. ilavesiyle yapacağım ispat cevap kadar absürt ve çocuksu olacak.
Riemann Zeta fonksiyonunun analitik devamlılıkla ispatı gibi şeyler var ancak benim yapacağım ispat baya lise seviyesinde bir ispat olacak.
ilk başta şu toplama bakacağız:
s =1-1+1-1+1....
bu toplamı 1'den çıkartırsak;
1-s = 1-(1-1+1-1+1.... )
1-s = 1-1+1-1+1....
sağ taraf gene s'e eşit olur;
1-s = s ise;
s= 1/2 olur
------------------------o-----------------------------
daha sonra şu toplama bakacağız:
s* =1-2+3-4+5-6+7.....
şimdi bu toplamı kendisiyle toplayacağız ama toplamada biraz hile yapacağız.
s* = 1-2+3-4+5-6+7.....
s* = +1-2+3-4+5-6+7..... sadece bir sayı kaydıracak şekilde bunları alt alta toplayacağız
-------------------------------------------+
2s* = 1-1+1-1+1.... olur
sağ tarafın toplamını da 1/2 bulmuştuk o zaman
2s* = 1/2
s* = 1/4 olur
---------------------------------o-------------------------
evet son aşamaya geldik ilstediğimiz toplamdan son bulduğumuz toplamı çıkartıp sonuca ulaşacağız.
+s^ = 1+2+3+4+5+6+7......
-s* = -(1-2+3-4+5-6+7.....)
-----------------------------------------------
s^-s* = 0+4 +0 + 8+ 0 +12.... sağ tarafı 4 parantezinde yazarsak
s^-s* =4(1+2+3+4+5+6+7......) parantezin içi de istediğimiz toplama eşit olduğuna göre
s^-s*=4(s^)
-s*=3s^
-1/4 = 3s^
s^= -1/12
büyük harflerle "ne oluyor matematik kendine gel". bu sonucun aslında fizikte uygulamaları var ama o da başka bir yazıya kalsın.
*ispatı numberphile kanalından da bulabilirsiniz. ben bu ispatı duvarıma yazmıştım duvarımdan çaldım ama her yerde çeşitli ispatlarını bulabilirsiniz (ama benim duvarım olmaz). seviyeli bir ilişki var duvarla aramda ama bazen böyle yüzsüzlükler yapıyorum. bu sonuçtan daha fazla bahsetmek istiyordum ama sonraya kalsın artık.