1+2+3+4+5+6.....= -1/12

hayır kafayı yemedim ispatını yapacağım.

akılları zora sokan , bir odaya girip neden girdiğini unutturan(kalt), neler oluyor dedirten bir sonuç. ilavesiyle yapacağım ispat cevap kadar absürt ve çocuksu olacak.

Riemann Zeta fonksiyonunun analitik devamlılıkla ispatı gibi şeyler var ancak benim yapacağım ispat baya lise seviyesinde bir ispat olacak.

ilk başta şu toplama bakacağız:

s =1-1+1-1+1....

bu toplamı 1'den çıkartırsak;

1-s = 1-(1-1+1-1+1.... )

1-s = 1-1+1-1+1....

sağ taraf gene s'e eşit olur;

1-s = s ise;
s= 1/2 olur

------------------------o-----------------------------

daha sonra şu toplama bakacağız:

s* =1-2+3-4+5-6+7.....

şimdi bu toplamı kendisiyle toplayacağız ama toplamada biraz hile yapacağız.

s* = 1-2+3-4+5-6+7.....
s* = +1-2+3-4+5-6+7..... sadece bir sayı kaydıracak şekilde bunları alt alta toplayacağız
-------------------------------------------+
2s* = 1-1+1-1+1.... olur

sağ tarafın toplamını da 1/2 bulmuştuk o zaman

2s* = 1/2
s* = 1/4 olur

---------------------------------o-------------------------
evet son aşamaya geldik ilstediğimiz toplamdan son bulduğumuz toplamı çıkartıp sonuca ulaşacağız.

+s^ = 1+2+3+4+5+6+7......
-s* = -(1-2+3-4+5-6+7.....)
-----------------------------------------------
s^-s* = 0+4 +0 + 8+ 0 +12.... sağ tarafı 4 parantezinde yazarsak
s^-s* =4(1+2+3+4+5+6+7......) parantezin içi de istediğimiz toplama eşit olduğuna göre

s^-s*=4(s^)

-s*=3s^

-1/4 = 3s^

s^= -1/12

büyük harflerle "ne oluyor matematik kendine gel". bu sonucun aslında fizikte uygulamaları var ama o da başka bir yazıya kalsın.

*ispatı numberphile kanalından da bulabilirsiniz. ben bu ispatı duvarıma yazmıştım duvarımdan çaldım ama her yerde çeşitli ispatlarını bulabilirsiniz (ama benim duvarım olmaz). seviyeli bir ilişki var duvarla aramda ama bazen böyle yüzsüzlükler yapıyorum. bu sonuçtan daha fazla bahsetmek istiyordum ama sonraya kalsın artık.
evet sanırım açıklama yapmam gerekiyor. aslında böyle bir toplamın sonucu bulunamaz* ancak fizikçiler sonsuz cevaplardan hoşlanmadıkları için bu tarz toplamları bir şeye eşitlemeleri gerek.
o yüzden böyle oyunlarla bu toplamlara cevap uyduruyor(umsu)lar. anlaması daha zor olan ispatları daha ikna edici ama onlarda da hata(msı)** gibi hissettiren şeyler yok değil.

*converge and diverge sums (bunlar hakkında bir ara yazacağım o zaman daha anlaşılır olur)
**analytic continuation

yaptığım ilk kural ihlalinde sonuç 0'da olabilir 1'de yani toplam sonsuza kadar bu şekilde devam ettiği için aslında bilemeyiz ama illa bir cevap bulmamız gerektiği için 1 ve 0'ın ortalaması gibi düşünüp 1/2 ye eşitledim gibi düşünebilirsiniz.

yani ilk toplamda hata yok (var ama yok) yani sonucu direkt 1'e ya da 0'a eşitleyebilmeniz için toplamın sonlu olması gerekir, toplam sonsuza kadar devam ettiği için 0'a veya 1'e eşitlenemez.(aslında hiçbir şeye eşitlenemez ehehehe)

anlayacağınız size yalan söyledim, pişman mıyım? hayır, bir daha olsa bir daha söylerim. üstüne üstlük "beni toplum baskıları durduramaz" diye de eklerim

7 entry daha

tüm doğal sayıların toplamı